Logika Matematika

Logika Matematika

A.    Pernyataan Kalimat Terbuka,  dan Nilai Kebenaran

1.      Pernyataan dan Kalimat Terbuka

 Pernyataan adalah suatu kalimat yang menerangkan (menyatakan) sesuatu yang bernilai benar atau salah  saja.

 Kalimat terbuka merupakan suatu bentuk kalimat bukan pernyataan. Jika kalimat terbuka mengandung peubah, maka kalimat tersebut dapat dinyatakan sebagai pernyataan dengan cara mengganti peubah tersebut dengan suatu nilai tertentu.

2.      Notasi dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan

      Dalam logika matematika, suatu pernyataan dapat bisa dinotasikan dengan huruf kecil p,q,r,..., dan sebagainya.

      Suatu pernyataan dapat bernilai benar atau salah saja. Dengan demikian suatu pernyataan memiliki nilai kebenaran benar (B) atau salah (S) saja. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan bisa dinotasikan dengan (baca: tau). Untuk contoh di atas,z di peroleh:

  (p) = S (baca : nilai kebenaran dari pernyataan p adalah salah)

(q)  = B (baca : nilai kebenaran dari pernyataan q adalah benar)

B.     Ingkaran atau Negasi

Penyangkalan dari pernyataan awal disebut negasi atau ingkaran dari pernyataan awal. Notasi dari ingkaran atau negasi dari pernyataan p adalah Jika pernyataan p benar, maka pernyataan  salah dan jika pernyataan p salah, maka pernyataan benar.

                               Tabel Kebenaran Pernyataan dan negasinya

P
B	S
S	B

C.     Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan sederhana.

Bentuk-bentuk pernyataan majemuk antara lain konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

1.      Konjungsi

      Konjungsi merupakan salah satu bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai “dan”. Konjungsi dari dua pernyataan sederhana p dan q  dinotasikan sebagai p  q (baca: p dan q)

      Suatu konjungsi akan bernilai benar , jika kedua pernyataan penbentuknya bernilai benar dan bernilai salah, jika salah satu atau keduanya bernilai salah

Tabel kebenaran .

                                                     Tabel kebenaran konjungsi p  q

P	Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

                           

2.      Disjungsi

      Disjungsi merupakan salah satu bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai “atau”. Disjungsi dari dua pernyataan sederhana p dan q dinotasikan sebagai p dibaca p atau q.

      Suatu disjungsi memiliki nilai kebenaran salah, jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai salah. Akan tetapi, bernilai benar jika salah satu atau keduanya bernilai benar.

                                                       Tabel kebenaran konjungsi p

P	Q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

                           

3.      Implikasi

      Implikasi atau pernyataan bersyarat merupakan bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai “jika…, maka…,”. Bentuk mplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan sebagai p    dibaca jika p, maka q. Pernyataan p disebut pernyataan penyebab atau anteseden, sedangkan pernyataan q disebut pernyataan akibvat konsekuen.

      Pernyataan implikasi p   memiliki nilai kebenaran salah jika anteseden bernilai benar dan konsekuen bernilai salah.

                                                       Tabel kebenaran implikasi p  .

P	Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

                           

4.      Biimplikasi

      Pernyataan biimplikasi dari dua pernyataan p dan q dinotasikan sebagai p dibaca: p jika dan hanya jika q.

      Suatu biimplikasi memiliki nilai kebenaran benar, jka anteseden p dan konsekuen q memiliki nilai kebenaran yang sama.

                                                 Tabel kebenaran biimplikasi

P	Q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

                           

D.    Ekuivalensi, Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

1.      Ekuivalensi

      Dalam bahasan berikut, kita akan mempelajari dua pernyataan majemuk yang setara atau ekuivalen.Misalnya diberikan pernyataan majemuk  dan   .

  

                                                        Tabel kebenaran ekuivalensi.

P
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

ekuivalen

                                                                                              

      Pada tabel, nilai kebenaran  dan    adalah sama. Kedua bentuk pernyataan majemuk yang memiliki nilai kebenaran yang sama seperti itu dikatakan setara (ekuivalen).

      Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memiliki nilai kebenaran yang sama dan dinotasikan oleh A .

      Beberapa contoh bentuk-bentuk logika yang ekuivalen.

1)      Hukum Komutatif      :          a)    p

b)    p

2)  Hukum Asosiatif         :          a)  (   ( q   r)

b)  (   ( q  r)

                              3) Hukum Distributif        :          a)    

                                                                                    b)  

                              4) Hukum de Morgan       :          a)     

b)     

2. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

a)      Tautologi

   Suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenarannya selalu benar disebut tautologi.

Tabel kebenaran Tautologi p

P
B	B	B	B
B	S	B	B
S	B	B	B
S	S	S	B

b)      Kontradiksi

   Suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenarannya selalu salah disebut kontradiksi.

                              Tabel kebenaran kontradiksi (p

p	q		p		(p
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

     

c)      Kontingensi

   Suatu pernyataan majemuk dengan nilai kebenaran benar dan salah disebut juga sebagai kontingensi.

                                                   Tabel kebenaran kontingensi (p

p	q		p		(p
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

P	q	r	p	(p
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S

     

p	q		p		(p
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

p	Q		p		(p
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	S
S	B	S	S	B	S
S	S	B	S	B	S

     

E.     Konvers, Invers, dan Kontraposisi

1.Konvers, yaitu pernyataan yang berbentuk q

2.Invers, yaitu pernyataan yang berbentuk   

3.Kontraposisi, yaitu pernyataan yang berbentuk

                                         Tabel kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi

p	Q
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

                                                                                       Sama

                                                                                                        Sama

Dengan melihat tabel kebenaran di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1.      Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi:  

2.      Konvers ekuivalen dengan invers            : q

F.      Pernyataan Berkuantor

1.Kuantor Universal

 Misalnya p(  merupakan kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta S.Untuk menyatakan bahwa himpunan penyelesaian kalimat terbuka tersebut adalah himpunan S dapat dituliskan sebagai.

 dibaca: untuk semua berlaku sifat

Atau

(  dibaca: untuk semua  anggota S, berlaku  

Lambang disebut lambing kuantor universal, dibaca “untuk semua”

2.Kuantor Eksistensial

Himpunan penyelesaian dari suatu kalimat terbuka p(  dalam semesta pembicaraan S yang memuat sekurana-kurangnya satu anggota S bukan himpunan kosong dapat dituliskan sebagai berikut

Atau

Lambing disebut lambang kuantor eksistensial, dibaca “terdapat” atau “ada”

3.Ingkaran dari pernyataan berkuantor

  Ingkaran untuk pernyataan berkuantor dinotasikan sebagai berikut.

1.

2.

G.    Penarikan kesimpulan

1.      Modus Ponens

            Modus ponens merupakan suatu argumentasi yang sah dengan penarikan kesimpulan                         didasarkan oleh permis-permis berbentuk  dan p yang  menghasilkan konklusi q.

                  Premis 1  :  

   Premis 2  :  p

   Konklusi :

   Argumentasi diatas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut.

[(  

2.      Modus Tollens

      Metode penarikan kesimpulan lainnya adalah modus tollens. Pada modus tollens penarikan kesimpulan didasarkan pada premis-premis  dan  yang menghasilkan konklusi

                  Premis 1  :  

   Premis 2  :

   Konklusi :

 Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut.

[(  

3.      Silogisme

Silogisme merupakan metode penarikan kesimpulan yang didasarkan pada premis-premis berbentuk  dan q  yang menghasilkan konklusi p

                  Premis 1  :  

   Premis 2  :  q

   Konklusi :

 Argumentasi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi sebagai berikut.

[(  

H.    Bukti Langsung dan Tak Langsung

1.      Bukti Langsung

Contoh :

Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan ganjil, maka n² adalah bilangan ganjil!

Jawab :

Misalnya p : n adalah bilangan bulat ganjil.

                q : n² adalah bilangan bulat ganjil.

                  Akan dibuktikan  benar.

                  Karena n²    = (2 ²

                                      = 4 ² + 4

                                      = 2(2 ^{2 +} 2

                                      = 2 m + 1

                   Dengan m  = 2 ^{2 +} 2 , yang berarti n² adalah bilangan bulat ganjil.

2.      Bukti Tak Langsung

a)      Bukti tak langsung dengan kontradiksi.

Contoh:

Buktikan bahwa “jika n² adalah bilangan ganjil” dengan bukti tak langsung!

Jawab:

Misalnya n adalah bilangan genap,yaitu n = 2

Karena n = 2

Maka n²  = (2 ² = 4 ² = 2(2 ²)

                = 2m  dengan m = 2 ²

Sehingga n² adalah bilangan genap, kontradiksi dengan n² adalah bilangan ganjil.

b)      Bukti Tak Langsung dengan Kontraposisi.

Contoh:

Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n , jika n² adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil.

Jawab:

Untuk membuktikan pernyataan di atas dapat dilakukan dengan pembuktian tak langsung dengan kontraposisi.

Misalnya p : n² adalah bilangan ganjil  

                q : n adalah bilangan ganjil

Kemudian misalnya  benar yang berarti n adalah bilangan genap, yaitu n = 2

Sehingga n² = (2 ²

                     = 4 ²

                     = 2(2 ²)

                      = 2m dengan m = 2 ²

Yang berarti  n² adalah bilangan genap.